Paso 1: Es un hiperboloide de una hoja (un signo negativo).
Paso 2: Trazas:
Paso 3: Eje Z es el eje de simetría. Se extiende infinitamente.
Paso 4: Visualización: Tiene forma de "torre de enfriamiento" o chimenea hiperbólica.
✅ Respuesta: Hiperboloide de una hoja. Ecuación canónica: ( \fracx^21 + \fracy^21 - \fracz^21 = 1 ).
Las superficies cuadráticas son el lugar geométrico de los puntos en $\mathbbR^3$ que satisfacen una ecuación de segundo grado general: $$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0$$ superficies cuadraticas ejercicios resueltos hot
Para resolver ejercicios, el objetivo principal es reducir la ecuación a su forma canónica mediante completación de cuadrados.
Este es el tipo de ejercicio más caliente (hot) porque combina álgebra con geometría.
Enunciado: Clasifique la superficie: (z = 4x^2 + y^2 - 8x - 4y + 8)
Solución paso a paso:
Completar cuadrados:
Sustituir: [ z = 4[(x-1)^2 - 1] + [(y-2)^2 - 4] + 8 ] [ z = 4(x-1)^2 - 4 + (y-2)^2 - 4 + 8 ] [ z = 4(x-1)^2 + (y-2)^2 + 0 ] [ z = 4(x-1)^2 + (y-2)^2 ]
Identificación: Es un Paraboloide Elíptico con vértice en ((1, 2, 0)).
Conclusión hot: Completar cuadrados es la habilidad más importante para superficies cuadráticas desplazadas. El centro o vértice no siempre está en el origen.
Enunciado: Identificar y graficar la superficie: [ 4x^2 + 9y^2 + z^2 - 8x + 18y - 6z + 6 = 0 ]
Enunciado: Clasificar: ( z = 4x^2 + y^2 ) Paso 1: Es un hiperboloide de una hoja
Solución: Es un paraboloide elíptico (términos cuadráticos positivos, una variable lineal). Abre hacia arriba. Trazas horizontales (( z = k )) son elipses: ( 4x^2 + y^2 = k ). No confundir con cono porque no está igualado a cero sino a z lineal.
Enunciado: Demuestre que la siguiente ecuación representa un cono y encuentre su eje: (x^2 + \fracz^24 = y^2)
Solución paso a paso:
Dato hot: En un cono elíptico, las secciones transversales son elipses que crecen linealmente con la distancia al vértice.
Problema: Identifique y grafique la superficie dada por: [ 4x^2 + 9y^2 + z^2 = 36 ] Paso 3: Eje Z es el eje de simetría
Solución:
Conclusión: Superficie cerrada, simétrica respecto a los tres planos. Es un balón ovalado alargado en el eje Z.